যদি $\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ এবং $\overline{b}=\widehat{3i}-+2\hat{k}$ হয়, তবে$\overline{a}+\overline{b}$ এবং $\overline{a}-\overline{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর \(\vec{X}\) এবং \(\vec{Y}\) যদি পরস্পর লম্ব (orthogonal) হয়, তবে তাদের ডট গুণফল (dot product) শূন্য হয়, অর্থাৎ \(\vec{X} \cdot \vec{Y} = 0\)।

যদি \(\vec{X} = \vec{a} + \vec{b}\) এবং \(\vec{Y} = \vec{a} - \vec{b}\) হয়, তবে তাদের ডট গুণফল হবে:

\(\vec{X} \cdot \vec{Y} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})\)

\(= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\)

যেহেতু ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), তাই উপরের সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\(= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\)

\(= |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\)

সুতরাং, \(\vec{a}+\vec{b}\) এবং \(\vec{a}-\vec{b}\) ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\) হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়, অর্থাৎ \(|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\)। এর অর্থ হলো \(|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2\), যা থেকে পাওয়া যায় \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\)।

এখন প্রদত্ত ভেক্টর \(\vec{a}\) এর মান (magnitude) নির্ণয় করি:

\(\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\)

প্রশ্নে প্রদত্ত ভেক্টর \(\vec{b}\) এর গঠনে একটি ত্রুটি পরিলক্ষিত হচ্ছে। তবে, যেহেতু বিকল্পগুলির মধ্যে \(90^\circ\) একটি সম্ভাব্য উত্তর, এবং \(\vec{a}+\vec{b}\) ও \(\vec{a}-\vec{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\) হওয়ার শর্ত হলো \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\), তাই ধরে নেওয়া হয় যে \(\vec{b}\) এমনভাবে প্রদত্ত হয়েছিল যাতে তার মান \(\vec{a}\) এর মানের সমান হয়।

যদি \(\vec{b} = 3\hat{i} \pm \hat{j} + 2\hat{k}\) হতো, তবে এর মান হতো:

\(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (\pm 1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}\)

এই ক্ষেত্রে, \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) শর্তটি পূরণ হয়।

যেহেতু \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) শর্ত পূরণ হচ্ছে, তাই \(\vec{a}+\vec{b}\) এবং \(\vec{a}-\vec{b}\) ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

দুটি লম্ব ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হয় \(90^\circ\)।

অতএব, \(\vec{a}+\vec{b}\) এবং \(\vec{a}-\vec{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণের মান \(90^\circ\) হবে।